當我嘗試使用多項式逼近此資料時，我在哪里做錯了？

我開始在我的課程中學習使用 MATLAB 進行數值分析。到目前為止，我們已經介紹了多項式插值（樣條、polyfit、約束樣條等）。我正在做這個練習題，但我無法得到正確的答案。我已經上傳了我使用的代碼和問題，我在哪里做錯了？提前致謝！

close all; clear all; clc;
format long e

x = linspace(0,1,8);
xplot = linspace(0,1);
f = @(x) atan(x.*(x 1));
y_val = f(xplot);
c = polyfit(x,f(x),7);
p = polyval(c,0.7);
err = abs(f(0.7)-p)/(f(0.7))

我遇到的問題如圖所示

uj5u.com熱心網友回復：

經過一番嘗試，這似乎是計算絕對誤差而不是相對絕對誤差的問題。

下面的代碼產生了所需的答案。是的，從這個問題中還不清楚是哪個錯誤。

% Definitions
format long e
x = linspace(0,1,8)';
xplot= linspace(0,1);
f = @(x) atan(x.*(x 1));
y_val = f(xplot);

% Degree of polynomial
n = 7;

% Points to evaluate function
point1 = 0.5;
point2 = 0.7;

% Fit
c= polyfit(x,f(x),n);

% Evaluate
approxPoint1 = polyval(c, point1);
approxPoint2 = polyval(c, point2);

% Absolute errors
errPoint1 = abs( f(point1) - approxPoint1)
errPoint2 = abs( f(point2) - approxPoint2)

uj5u.com熱心網友回復：

你做錯的是：

1. 在計算誤差以提供結果變數時混合絕對值和相對值err。

2. 計算錯誤時錯誤地放置abs()括號：您abs()只修復了分子，但隨后修復了分母。獲得|f(0.7)| 你還需要另一個abs(f(0.7))

為了點x=0.7而不是

err = abs(f(0.7)-p)/(f(0.7))

應該

err = abs(f(.7)-p));

3. 您只計算err評估點 0.5 。為了在似乎是 MATLAB Associate 測驗多項選擇答案的可能候選者中進行選擇，需要err在 0.5 和err0.7 上，然后在所有提供的可能答案中以正確的順序匹配這對。

4. 盡管使用次數多項式來逼近N點的多項式近似是常見的做法N-1，但通常可以使用低于N-1.

低次多項式意味著更少的計算，更少的時間逼近點。如果一個人獲得了一個足夠公平的近似值，例如 4 次多項式，為什么要浪費時間計算一個更高次的近似值N-1？

由于該問題沒有說明近似多項式應該具有什么度數，因此您必須找到它從 1 到一個合理的順序掃描所有多項式度數。

5. 我發現的最后一個錯誤是您使用了 linspace 而沒有指定點數，然后 MATLAB 默認取 100 個點，希望一切正常。

好吧，在您的問題中，100 分的分數太低了，正如我將在提供以下幾行之后顯示的那樣，如前一點所述，掃描所有可能的近似多項式，而不是您默認選擇的 100 分。

np=8;                                  % numel(x) amount supplied points
N=1e3;                              % amount points x grid we build to measure f(x)
x= linspace(0,1,np);

xplot = linspace(0,1,N);
f = @(x) atan(x.*(x 1));       % function to approximate
y_val = f(xplot);                   % f(x)

xm=[.5 .7];                         % points where to asses error

% finding poly coeffs

err1=zeros(2,np 2);          % 1st row are errors on x=.5, 2nd row errors on x=.7

for k=1:1:np 2
    
c = polyfit(x,f(x),k);   

p_01 = polyval(c,xm(1));
err1(1,k) = abs(f(xm(1)-p_01));
% err(1,k) = abs((f(0.5)-p_05)/(f(0.5)))

p_02 = polyval(c,xm(2));
err1(2,k) = abs(f(xm(2)-p_02));
% err(2,k) = abs((f(0.7)-p_07)/(f(0.7)))

plot(x,polyval(c,x),'LineWidth',1.5); %'Color','b');

end

err1

.

唯一以正確順序匹配的錯誤對確實是多項式 7 階的錯誤，但總的最小錯誤對應于 6 階的近似多項式。

如果linspace沒有定義足夠多的點數會發生什么？我們來看一下：

np=8;                                  % numel(x) amount supplied points
% N=1e3;                              % amount points x grid we build to measure f(x)
x= linspace(0,1,np);

xplot = linspace(0,1); %,N);
f = @(x) atan(x.*(x 1));       % function to approximate
y_val = f(xplot);                   % f(x)

xm=[.5 .7];                         % points where to asses error

% finding poly coeffs

err1=zeros(2,np 2);          % 1st row are errors on x=.5, 2nd row errors on x=.7

figure(1);
ax1=gca
hp1=plot(xplot,y_val)
grid on;
hp1.LineWidth=3;
hp1.Color='r';
hold on

for k=1:1:np 2
    
c = polyfit(x,f(x),k);   

p_01 = polyval(c,xm(1));
err1(1,k) = abs(f(xm(1)-p_01));
% err(1,k) = abs((f(0.5)-p_05)/(f(0.5)))

p_02 = polyval(c,xm(2));
err1(2,k) = abs(f(xm(2)-p_02));
% err(2,k) = abs((f(0.7)-p_07)/(f(0.7)))

plot(x,polyval(c,x),'LineWidth',1.5); %'Color','b');

end

err1

只有 100 分，所有錯誤都太大了，在 1e-5 或 1e-6 附近沒有一個錯誤。

這就是為什么人們無法判斷要選擇哪一對的原因，因為所有獲得的值都在距離著陸區至少 5 個數量級的地方。

我正要包含一個帶有圖例的圖，但是在這種情況下，這種特殊方法的可視化在我看來充其量是誤導性的，就像在 100 和 1000 點的圖中，乍一看，兩者看起來好像錯誤應該無論使用多少網格點，都是相似的。

但是如上圖所示，1e2 點無法逼近函式，就像在一片漆黑中，尋找某物并將手電筒 180 指向我們應該瞄準的位置，而不是發現它的機會。

然而 1e3 個網格點會產生一對與其中一個可能的答案匹配的錯誤，這是選項 D。

希望對您有所幫助，感謝您閱讀我的回答。

標籤：matlab 数字 数值方法

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